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petit qu'on le suppose, ou même pour des valeurs discontinues 
de x qui ne seraient séparées par aucun intervalle assignable. 
Dans le premier cas, on concevra que la variable x passe de la 
valeur x 0 à la valeur X par une suite d'accroissements 
pouvant décroître au-dessous de toute valeur donnée, et 
tels, par conséquent, que pour chacune des valeurs successives x { 
de x le rapport ~ dépasse une limite donnée R , choisie d’ailleurs 
"i 
aussi grande qu’on le voudra. On aura donc 
m — fi x o) * 0 ■+■ k, + 
lin ■ 
K 
tin — l 
d’où 
f{X) — f{x 0 ) 
X — x n 
> R 
Ce rapport —- °' a évidemment une valeur finie et déter¬ 
minée, puisque la fonction f (x) est continue; il pourrait, d'autre 
part, être démontré plus grand que toute grandeur donnée, ce qui 
est absurde. 
Si les valeurs de x pour lesquelles-^ a pour limite l’infini, sans 
former une suite continue, m'étaient séparées les unes des autres 
par aucun intervalle assignable; ou si la valeur h' de h, au-dessous 
de laquelle le rapport reste constamment > R, tendait vers 
zéro lorsque x s’approche indéfiniment d’une valeur particu¬ 
lière x' comprise entre x 0 et X, on voit facilement, par les détails 
dans lesquels nous sommes entrés précédemment, comment i 
faudrait modifier la démonstration (*). 
18. Examinons maintenant la troisième hypothèse que nous 
avons faite sur la limite du rapport ~, et commençons par établir 
certaines propositions indispensables. 
Admettons que, pour une valeur x de la variable, lorsque 
l’accroissement h converge vers zéro, le rapport ~ présente une 
(*) Il résulte de tout cela que les fonctions continues « dont la dérivée est 
infinie pour toutes les valeurs commensurables de x, » d’après M. ïïankel, sont 
impossibles. 
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