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succession indéfinie de valeurs alternativement plus, grandes et 
plus petites, comprises entre deux quantités positives données P 
et Q, sans que jamais ce rapport tende vers une limite détermi¬ 
née. Ou bien, quelque petit que l'on suppose h , le rapport y con¬ 
tinuera indéfiniment, dans ses plus grandes oscillations , à attein¬ 
dre les limites P et Q, ou du moins a s’en approcher indéfini¬ 
ment; ou bien , au-dessous d'une certaine valeur de h, les limites 
P et Q pourront être remplacées par d’autres plus resserrées, P' 
et Q'. De même, si pour toutes les valeurs de h inférieures à une 
valeur donnée, le rapport j ne continue pas indéfiniment à attein¬ 
dre les limites P' et Q' dans ses plus grandes oscillations, ou du 
moins à en approcher autant qu’on le veut, ces limites P' et Q' 
pourront encore être remplacées par d’autres plus rapprochées 
P" et Q"; et ainsi de suite. D’ailleurs ,l’intervalle compris entre 
les limites successives P et Q, P' et Q', P" et Q", etc., ne peut 
devenir moindre que toute grandeur donnée, sans quoi le rap¬ 
port y finirait nécessairement par tendre vers une limite fixe, 
ce qui serait contre l’hypothèse : les valeurs décroissantes P, P' 
P",... tendent donc vers une limite déterminée; et de même pour 
les valeurs croissantes Q, Q', Q",... Donc, dans tous les cas, les 
plus grandes valeurs que comporte le rapport y finissent tou¬ 
jours par s’approcher indéfiniment d’une certaine limite L, à me¬ 
sure que h tend vers zéro; et de même, les plus petites valeurs 
du rapport -y finissent toujours par s’approcher indéfiniment 
d’une certaine limite l , et par en différer aussi peu qu’on le veut (*). 
D’ailleurs, la différence L — l est nécessairement une quantité 
finie, différente de zéro. 
O On vérifie cette conclusion par un raisonnement ab absurdo, moins 
lucide toutefois que la démonstration ci-dessus. Si la série des plus grandes 
valeurs du rapport j ne finissait pas, au-dessous d’une certaine valeur de />, 
par rester ou toujours croissante, ou toujours décroissante, elle se compose¬ 
rait de termes alternativement croissants et décroissants : elle ne compren¬ 
drait donc pas seulement les plus grandes valeurs du rapport ~. Or, des 
termes formant une série toujours croissante, ou toujours décroissante, ten¬ 
dent vers une limite déterminée. Un raisonnement analogue s’applique à la 
limite des plus petites valeurs. 
