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due déterminée des valeurs de cette variable. Il est donc permis 
de supposer que l'intervalle (x 0 ,X) soit restreint de telle ma¬ 
nière, que, dans toute l’étendue de cet intervalle, la fonction L À 
reste toujours comprise entre deux limites L s et L — t, et la 
fonction l x entre deux autres limites l -+- s et / — e, L et / dési¬ 
gnant des quantités déterminées dont la différence L — la une 
valeur finie; s désignant toujours une quantité positive, que l’on 
peut choisir aussi petite qu’on le veut. 
Cela posé, concevons que la variable x passe de la valeur x 0 à 
la valeur X, ou à une valeur x n dont la différence avec X est 
susceptible de décroître indéfiniment, par une succession d’ac¬ 
croissements /? 0 ,pris suffisamment petits pour que, 
pour chacune de ces valeurs x { par lesquelles passe la variable, 
la valeur du rapport 
f(Xj -t-hj) — f (Xi) _ Jù_ 
hi hi 
diffère, de la limite correspondante L x , d’une quantité moindre 
que s, et soit, par conséquent , comprise entre L -f- et L — 
Nous aurons donc 
f(X)-f(x 0 ) 
X-x 0 
Si, au contraire, nous choisissons les accroissements k 0 , h { , ... 
/?„_!, dont la somme égale X — x 0 ou en diffère aussi peu qu’on 
le veut, de telle façon que l'on ait toujours 
~j~— M ( 4 . + — 
supposition qui est évidemment permise d’après tout ce que l’on 
a vu, nous arriverons par un raisonnement semblable à l’équation 
/~(X) — f(x 0 ) 
X — X n 
=M (/+2e,J-2E). 
Or, e pouvant être choisi aussi petit qu’on le veut, il sera ainsi 
démontré que le rapport 
f(X) — f{x 0 ) 
X — X n 
