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dont la valeur est finie et déterminée, diffère par une quantité 
moindre ,que toute grandeur donnée de lïme et de l’autre des 
quantités L, /; et comme ces dernières quantités diffèrent elles- 
mêmes l’une de l’autre d’une quantité déterminée et finie, cette 
conclusion est absurde. 
Il est donc impossible que, pour toutes les valeurs de la varia¬ 
ble comprises entre x 0 et X, le rapport yoscille indéfiniment 
entre des limites distinctes sans tendre vers aucune limite fixe et 
déterminée. 
21. Si nous admettons maintenant que l'hypothèse d’une oscil¬ 
lation indéfinie du rapport ~ ne soit réalisée que pour des valeurs 
discontinues de x, telles que le plus petit intervalle en renferme 
une infinité, la démonstration s’étendra sans difficulté comme 
précédemment. On fera voir, comme au n°I9, que si la diffé¬ 
rence x' — xde deux de ces valeurs de x tombe au-dessous de toute 
grandeur donnée, la différence L x , — L x des valeurs correspon¬ 
dantes de la limite des plus grandes valeurs de ^ tombera aussi 
au-dessous de toute grandeur donnée; de même pour la limite l x 
des plus petites valeurs de ce rapport. On prouvera ensuite que si 
l’on part d’une valeur x 0 pour laquelle l’hypothèse est réalisée, on 
pourra faire passer la variable x par une suite de valeurs, conver¬ 
geant vers X, et jouissant de la même propriété que x 0 ; telles, en 
outre, que pour chacune d’elles le rapport ~ soit toujours com¬ 
pris entre deux limites L h- 2s et L — 2e; ou bien, toujours 
compris entre ces deux autres, l ■+- 2e, /— 2e; et l’on retom¬ 
bera sur la même conclusion que dans le premier cas. 
Il est bon d’observer que les raisonnements précédents ne 
s’appliqueraient pas immédiatement au cas où, pour toutes les 
valeurs de x pour lesquelles l’hypothèse se réalise, la limite L x des 
plus grandes valeurs serait infinie : mais on voit sans peine que, 
dans ce cas, la démonstration du n° 17 pourrait être appliquée, 
et manifesterait l’absurdité de l’hypothèse. Donc enfin : 
/■ 
Théorème. — Il est impossible que, pour toutes les valeurs 
de x comprises dans un intervalle donné (x 0 ,X), quelque petit 
qu’il soit , ou pour des valeurs discontinues aussi rapprochées 
