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Par exemple, la figure renfermant en particulier une section 
conique, pourra être regardée comme la transformée d'une autre, 
pour laquelle la section conique sera remplacée par une circonfé¬ 
rence de cercle; et cette seule remarque suffira pour ramener les 
questions les plus générales sur les sections coniques, à d’autres 
qui soient purement élémentaires. On conçoit, d’après cela, de 
quelle importance peut être la doctrine de cette transformation 
pour toutes les recherches géométriques, et combien les considé¬ 
rations qu’elle offre peuvent abréger et rendre faciles ces recher¬ 
ches. Une figure étant donnée, tout se réduira, comme on voit, à 
rechercher celle de ses transformées qui présentera des circon¬ 
stances plus élémentaires et plus propres, par leur simplicité, à 
faire découvrir les relations particulières que l’on a en vue. » 
Tel est l’ensemble des transformations générales qui devront 
présider à l’étude des courbes géométriques. 
En résumé, nous voyons que les courbes géométriques, comme 
les nombres et les fonctions, dérivent toutes d’un certain nombre 
de courbes premières, faciles à déterminer, dont l’étude préalable 
conduit facilement à la connaissance des familles auxquelles elles 
donnent naissance. Est-il question, par exemple, des ovales de 
Descaries, ou des ovales de Cassini? La simple inspection de leur 
équation montrant qu’elles ont pour points doubles les deux 
points circulaires à l’infini, on en déduit que l’étude de ces 
courbes rentre dans la classe des courbes du quatrième ordre 
affectée de deux points doubles. Or, si l’on applique à ces courbes 
générales le premier des deux critérium, on en conclut, immé¬ 
diatement, que leur théorie est renfermée dans celle des courbes 
du troisième ordre dépourvues de point double. Quant à ces der¬ 
nières, l’application de la transformation homographique ramène 
leur étude à celles d’entre elles qui passent par les points circu¬ 
laires à l’infini, courbes bien plus faciles à étudier. Enfin, si nous 
remarquons que le second critérium, appliqué aux courbes du 
quatrième ordre affectées de deux points doubles, montre que 
ces courbes sont primitives dans les hiérarchies tangeniielles, 
nous pouvons encore énoncer cette conséquence importante : Une 
courbe donnée peut être primitive dans les hiérarchies ponctuelles 
