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points a 4 , a 2 , a,, a trois points confondus en a avec la conique W. 
Ce théorème, dont nous ferons connaître la démonstration dans 
le courant du mémoire, résout ce problème : Par deux points 
arbitrairement donnés sur le plan d’une conique W définie par 
quatre points a, (3, s, y et la tangente en l’un d’eux a, mener une 
conique qui ait avec elle trois points confondus en a. 
Cela posé, soit Lune courbe du troisième ordre à point doublée, 
et a 4 , deux points pris arbitrairement sur 2. Considérons i’argue- 
sienne triangulaire de cette courbe en prenant pour points P, A, B 
les points e, a 4 , > 2 : la transformée est une conique W I5 passant par 
le point e et ne passant pas par les point a I 5 ; 2 , car on a, en effet 
m — o, a — i, b = l. p~2 
d’où 
m' — 2 m — (a -+- b -4- p) — 2 a' = m — (a -h p) = 0 
b' = m — {b -+- p) — 0 p' — m — (an- b) = 1. 
Cela fait, effectuons sur la conique W 1} les constructions faites 
sur W en prenant pour points arbitraires les points a 4 , > 2 , et re¬ 
passons de cette figure à la précédente. La tangente «T devient la 
conique 6 tangente en a! (point homologue à a) à 2, et passant par 
les points e, A 4 , a 2 ; les points I, H, donnent naissance aux points 
d’intersection de 0 avec les deux droites e|3, ey; les deux coniques 
Pi, p% donnent deux coniques pj, p 2 tangentes respectivement au 
point a aux coniques [ydy'e a 4 a 2 ) (a'(3'£A 4 A 2 ) et passant respective¬ 
ment par les points Ii Hi et par les deux mêmes points A,, a 2 ; ces 
deux coniques pi, pi, se coupent en un quatrième point ai, point 
homologue à « 4 ; la conique M devient la conique M' tangente en 
a' à 6 et passant par les points A t , > 2 , ai. Or, dans la seconde figure 
M a trois points confondus en a avec \V 4 , donc M' a aussi trois 
points confondus en a' avec 2, de là ce théorème : 
Soit 2 une courbe du troisième ordre à point double i■ déter¬ 
minée par ce point double et six autres points a, (3, y y i ly > 2 dont 
deux sont confondus en a suivant la direction aT. Considérez les 
seconds points d’intersection I, H de f(3, syavec la conique tan¬ 
gente en a à aT et passant par e, * 4 , a 2 ; imaginez les deux coni¬ 
ques pi, p -2 tangentes respectivement au point <y. aux coniques 
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