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» (S, X), lesquels sont en involution avec P, M, et qui, par con- 
» séquent, permettent de déterminer le point X: AX est la tan- 
» gente demandée. » 
II. — INTERSECTIONS DE LA COURBE ET D’UNE DROITE QUELCONQUE. 
Soit S la sécante considérée. Au moyen des cinq points, ima¬ 
ginez deux quadrilatères qui diffèrent par l’un des sommets; la 
sécante S intercepte respectivement sur chacun d’eux, deux 
séries de points qui déterminent deux involutions, les points de la 
courbe sont, d’après le théorème fondamental, deux points homo¬ 
logues dans chacune d’elles; donc pour les obtenir, on est conduit 
à résoudre ce problème : 
Étant données, sur une même droit, deux séries de segments en 
involution, trouver le segment commun aux deux involutions. 
M. Chasles a donné deux solutions de ce ^problème dans le 
Traite des sections coniques, page 109; la suivante lui appartient 
également;' nous croyons cependant pouvoir faire remarquer que 
nous l’avions rencontrée dans nos recherches personnelles, avant 
de l’avoir lue dans la Géométrie supérieure . 
Soient (ax\ [3(3'), (a l5 <x\, (3 4 (3’j) les deux systèmes de quatre 
points qui déterminent les deux involutions. Par un point arbi¬ 
traire ).i et les segments <xx, (3|3', faites passer deux cercles, ils se 
coupent en a 2 , considérez de même les deux cercles (> t x l <x\), 
(>,, |3, |3i), ils se coupent en ), 3 ; les points communs à la sécante et 
au cercle défini par les trois points à 15 ), 2 , X-sont les points demandés . 
Remarque I. — Dans la construction précédente, appliquée à 
l'intersection d’une droite et d’une conique, la sécante peut ne 
pas rencontrer le cercle; dans ce cas les points d’intersection sont 
imaginaires; il est donc établi : Que l'on peut toujours substituer 
à une conique un cercle réel, qui donne par son intersection 
avec une droite S les mêmes points réels ou imaginaires ; consé¬ 
quemment on saura toujours trouver : 1 ° le point milieu de deux 
points imaginaires d’une conique, situés sur une droite donnée; 
2° le rectangle des distances d’un point de la droite à ces deux 
