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V. — DÉTERMINER LA CONIQUE QUI A QUATRE POINTS CONFONDUS EN UN POINT 
A d’une CONIQUE DONNÉE C Q ET QUI PASSE FAR UN CINQUIÈME POINT ©. — 
DÉTERMINATION DE LA PARABOLE OSCULATRICE. 
La tangente AT, considérée comme droite double, constitue une 
conique passant par les quatre points d’intersection de la conique 
proposée et de la conique cherchée; en conséquence, toute sécante 
coupe ces trois courbes, suivant six points formant une involution. 
De là cette règle : 
Par le point 0, menez une droite arbitraire qui rencontre 
généralement en deux points distincts, la conique C 0 , et en deux 
points confondus la droite AT ; considérez Vinvolution définie 
par ces quatre points, prenez le point homologue au point ®, 
vous aurez un point de la conique cherchée. 
Remarque. — Pour trouver la parabole osculatrice, il subit 
évidemment d’en déterminer un cinquième point, par exemple 
celui qui est à l’infini. A cet effet, reportons-nous au second para¬ 
graphe; nous voyons que pour que la conique qui passe par cinq 
points donnés soit une parabole, il faut que les deux faisceaux 
en involution qui ont leur sommet en P, aient un rayon double 
commun; mais un seul de ces faisceaux détermine ces rayons 
doubles, donc : 
Première conséquence. — « Par quatre points donnés, on peut 
faire passer deux paraboles » 
Deuxième conséquence. — Pour déterminer les directions des 
axes de ces paraboles, menez par un point arbitrairè P des droites 
parallèles aux côtés opposés du quadrilatère formé par les quatre 
points; les rayons doubles du faisceau en involution, déterminé 
par ces quatre droites, sont les directions demandées. 
Troisième conséquence. — Pour déterminer la direction de 
l’axe de la parabole osculatrice, au point A, supposez menées par 
ce point des parallèles aux asymptotes de la conique C 0 ; ces 
deux droites , associées à la droite double AT, définissent un fais¬ 
ceau en involution, dont le second rayon double donne la direc¬ 
tion de Vaxe demandé. 
Tome XXIII. 
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