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La solution que je propose est fondée sur la remarque suivante, 
dont on se rendra facilement compte: la condition nécessaire et 
suffisante pour que la conique, lieu des centres de celles qui pas¬ 
sent par l’intersection des deux proposées, se décompose, est que 
les deux coniques soient tangentes; si cela a lieu, la conique des 
neuf points se décompose en deux droites dont l’une est la tan¬ 
gente commune. 
Remarque. — Les raisonnements précédents conduisent à la 
solution de plusieurs problèmes que nous allons passer en revue : 
1° Nouvelle détermination de la tangente en un point quel¬ 
conque. 
Soit g un point de 2 3 et M le point correspondant de la courbe; 
imaginez la conique tangente en p à 2 3 et passant par B, C, P, la 
droite, arguesienne de cette conique, est la tangente au point M. 
2 e Trouver les tangentes à la courbe, issues d’un pont donné L 
Toutes les fois qu’une transversale, en pivotant autour de l, 
devient tangente à la courbe, Y arguesienne correspondante à cette 
transversale devient tangente à la conique 2 35 donc le problème 
revient au suivant : 
Etant donné un faisceau de coniques, déterminé par les quatre 
points P, A, B, I', dont l’un est sur une conique 2 3 , déterminer 
les coniques du faisceau tangentes à cette conique 2 3 . 
Il est évident que les points de contact sont sur les tangentes 
communes aux deux courbes suivantes : 
1° Conique S 3 . 
2° Courbe-enveloppe des cordes communes aux coniques du 
faisceau et à la conique 2 3 . 
M. Chasles démontre très-simplement que cette dernière enve¬ 
loppe est une conique. « Si le point P n’était pas sur la conique 2 3 , 
la courbe serait de troisième classe. » 
Nota /. — Cette construction montre bien qu’on ne peut 
. mener que quatre tangentes à la courbe, par un point extérieur. 
Nota IL — Cette construction résout également ce nouveau 
problème : 
Connaissant deux tangentes à une courbe du troisième ordre 
à point double, issues d’un point donnée, construire les deux 
autres par la règle et le compas . 
