( 48 ) 
5° Détermination des points d'inflexion. 
En un point d’inflexion, la tangente rencontrant la courbe en 
trois points confondus, on voit que toute tangente en un tel point 
est Yarguesienne d'une conique passant par les trois points 
P, A, B et ayant un contact du second ordre avec 2 3 , en sorte que 
le problème est transformé en cet autre : 
Déterminer les coniques qui passent par les trois points P, A, B 
et qui ont un contact du second ordre avec 2 3 . 
Il est évident que les points de contact sont sur les tangentes 
communes aux deux courbes suivantes : 
1° La conique 2 3 . 
2° La courbe-enveloppe des cordes communes à 2 3 et au fais¬ 
ceau de coniques , passant par les points P, À , B et qui sont tan¬ 
gentes à 2 3 . 
On se rend facilement compte que cette dernière enveloppe 
est une conique, dont Lune des tangentes communes avec 2 3 est 
la tangente en P en cette courbe. 
Nota. — Cette construction montre bien que toute courbe du 
troisième ordre à point double ne possède que trois points d’in¬ 
flexion. 
IV. — INTERSECTION COMPLETE DE LA COURBE ET D’UNE CONIQUE C,, CIRCON 
SCRITE A UN QUADRILATÈRE FORMÉ PAR QUATRE POINTS DISTINCTS. DE CETTE 
COURBE. 
Quatre points quelconques de la courbe déterminant un qua¬ 
drilatère de référence, nous pouvons supposer que la conique 
en question passe par les quatre points A, B, C, D. Cela posé, 
d’après le théorème de Bezout, l’intersection complète se compo¬ 
sant de six points, et A, B, C, D en faisant déjà parti, il n'en 
reste plus que deux à déterminer; on les obtiendra évidemment 
en ayant égard à la règle suivante : 
Cherchez les deux points d’intersection de la conique C, avec 
la droite 2, et joignez-les au point P; les nouveaux points d 3 in¬ 
tersection de ces rayons avec la conique sont les points demandés. 
Remarque. — Ce problème donne une solution nouvelle du 
suivant : 
