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homologues de ces 'points dans les évolutions déterminées par les 
sécantes (PI'), (P2'), (Po')., sur les coniques S 1? S 2 ; menez en¬ 
suite la courbe 1 d’ordre m—2 qui ale point P pour point mul¬ 
tiple d’ordre m — 5 et qui passe par les 2m — 4 points I 2', 5'..., 
(2m — 4)', cette courbe 1 sera telle que si par le point P on mène 
une transversale arbitraire la rencontrant en p, la courbe pro¬ 
posée est le lieu géométrique du point homologue à ce point 
dans l’involution que cette transversale détermine sur les coni¬ 
ques S { , S 2 . 
Remarque I. — La courbe S, étant une courbe rentrant dans le 
type de la proposée, peut elle-même être décrite à l’aide d’une 
directrice d’ordre m — 4 et rentrant toujours dans le type 
de la proposée; en opérant à son tour sur elle comme sur 2', 
on voit que l’on est encore ramené, pour la construire, à une 
courbe d’ordre moindre, rentrant toujours dans le même type; 
en continuant ainsi de proche en proche, on arrivera à conclure 
que l’on peut construire comme il suit, en n’employant que la 
règle et le compas, la courbe du m me ordre, affectée d’un point 
P multiple d’ordre m — 1 et définie par ce point multiple et les 
2 m autres points A, B, C, D, — i, 2..., 2 m — 4 (*). 
On a nécessairement 2m = 4w ou bien 2m = 4»'-+-2; suivant 
que l’on aura l’une ou l’autre forme, on aura égard à cette pre¬ 
mière ou seconde règle. 
Première règle. — Prenez arbitrairement quatre points parmi 
les 2m points donnés, et considérez les cornes formant un pre¬ 
mier quadrilatère de référence R,; construisez au moyen de ce 
quadrilatère et du pôle P les 2m — 4 points homologues aux 
2m — 4 points restants; soient p l5 /* 2 ... p 2m ._ 4 ces 2m — 4 nou¬ 
veaux points. Prenez de même arbitrairement quatre points 
parmi ces derniers, et considérez-les encore comme formant un 
deuxième quadrilatère de référence R 2 , et transformez les 2m — 8 
{*) M. de Jonquières résout ce même problème dans le Mémoire déjà cité, 
page 213; Poncelet, dans le tome II, pagel9l de son Traité des propriétés pro¬ 
jectives • le résout dans le cas particulier où les 2 m points sont situés en ligne 
droite. 
