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Joignez au point P les m — 2 points d'intersection de la droite 
CD avec là courbe 2, les points de rencontre de cette droite avec 
AB sont les points demandés. 
Cela posé, passons au cas général, c’est-à-dire au cas où Ton 
connaît 2 n' points communs à la courbe et à la sécante AB. Il est 
évident que la connaissance de ces 2 n points entraîne la con¬ 
naissance de 2 n' —- 2 points communs à la sécante CD et à la 
courbe 2, et réciproquement de la connaissance des points com¬ 
muns à CD et à 2 résulte la connaissance des points communs à la 
courbe proposée et à la sécante S ; par conséquent, la question est 
donc déjà ramenée à la recherche des points communs à une 
courbe d’ordre m — 2 (rentrant dans le type de la proposée) et à 
une sécante dont on connaît déjà 2 n! — 2 points communs; ou en 
procédant sur celle-ci comme sur la proposée, on ramènera encore 
la question à la recherche des points communs à une courbe d’or¬ 
dre m —4 (rentrant toujours dans le type de la proposée) et à 
une sécante dont on connait déjà 2 n r — 4 points communs. On 
continuera ainsi de proche en proche, et au bout de n ' substitu¬ 
tions, on sera bien ramené a trouver l’intersection d’une sécante et 
d’une courbe d’ordre m — n appartenant au type de la proposée. 
En second lieu, supposons n impair de la forme 2 n' -4 1, n r 
pouvant être nul. 
Si n' n’est pas nul, en procédant comme nous venons de voir, 
on ramènera le problème à la recherche de l’intersection d’une 
droite et d’une courbe d’ordre m — 2 n' dont on connait déjà un 
point commun ; en sorte que la suite de la solution est comprise 
dans l’énoncé général suivant : 
On connaît un point commun à la courbe proposée et à une 
sécante ; ramener la recherche des m—1 autres points communs 
à la recherche des points communs à une sécante et à une courbe 
d'ordre m — 1 appartenant à la même famille que la proposée. 
Le point A étant un point quelconque de la courbe , nous pou¬ 
vons supposer que c’est de lui qu’il s’agit. Cela posé, prenons un 
point quelconque B' sur la sécante SA, et remarquons qu’il résulte 
de nos théorèmes généraux que la courbe peut être considérée 
comme Varguesienne d’une courbe d’ordre m — 1 que nous 
