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thèses de quatre points simples imaginaires, et de quatre des 
directions des tangentes en P imaginaires. 
IX. — INTERSECTION DE DEUX COURBES D’ORDRE ïtl ET H PASSANT PAR QUATRE 
MÊMES POINTS DONNÉS ET QUI ONT UN MEME POINT P RESPECTIVEMENT MUL¬ 
TIPLE d’ordre m — 1 ET 71 — 1. 
Nous nous proposons de ramener la recherche de l'intersection 
de ces deux courbes à la recherche de celle de deux autres, ap¬ 
partenant à la même famille, et dont les degrés seront respecti¬ 
vement moindres. 
Cherchons, d’abord, le nombre des points communs qu’elles ont 
en dehors du point P et des quatre points donnés A, B, C, D; ils 
sont évidemment donnés par la formule 
mn — (m — 1) (n — 1) — A — m n — 5 
k 
Cela posé, soient 2 m , l n les arguesiennes de ces deux courbes 
par rapport au quadrilatère de référence ABCD et au pôle P. Ces 
deux courbes d’ordre m — 2 et n — 2 se coupent en dehors du 
point P en un nombre de point marqués par la formule : 
(m — 2) (n — 2) — (m — 5) ( n — 3) = m -+- n — 5. 
Il est évident que les points communs aux deux courbes propo¬ 
sées sont sur les rayons vecteurs allant du point P aux (m + n— 5) 
points communs des deux arguesiennes 2 wl , 2 n ; donc la recherche 
des points communs aux deux courbes proposées est bien ra¬ 
mené, etc. 
Remarque. — La connaissance de 8 points communs aux deux 
courbes proposées entraîne la connaissance de quatre points 
communs aux deux courbes l n ; si donc on opère sur celles-ci 
comme sur les proposées, on aura ramené la question à la re¬ 
cherche de l’intersection de deux courbes d'ordre m — 4, n — 4; 
en continuant ce raisonnement, on voit que d’une manière géné¬ 
rale, x système de quatre points communs connus permettent 
d’abaisser respectivement les degrés des deux courbes de 2a 
unités. 
