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CHAPITRE V. 
CONSIDÉRATIONS SUR LES COURBES DE TROISIÈME CLASSE, AFFECTÉES 
D UNE TANGENTE DOUBLE ET DÉFINIES PAR CETTE TANGENTE DOUBLE 
ET SIX AUTRES TANGENTES (*). 
1. — DÉFINITION DE LA COURBE COMME LIEU GÉOMÉTRIQUE ] 
GÉNÉRATION DE LA COURBE. 
L’étude de toute courbe, de troisième classe, affectée d'une tan¬ 
gente double, réside dans l’étude de la courbe enveloppe sui¬ 
vante : 
Une droite T, un point s extérieur à cette droite et deux coni¬ 
ques Si S 2 sont pris et volonté dans un plan. On prend sur la 
droite T un point O arbitraire que Von joint au point 1; on ima¬ 
gine le rayon OM homologue à Os datis le faisceau en invulution 
qui a pour sommet le point O et qui est déterminé par les tangentes 
issues de ce point aux coniques inscrites dans le quadrilatère 
obtenu en menant les tangentes communes à Si, S 2 , et Von de¬ 
mande Venveloppe de la droite OM lorsque le point décrit la 
droite T. 
Ce théorème conduit à la génération suivante de la courbe, 
lorsqu’elle est déterminée par la tangente double T et par six 
autres tangentes A, B, C, D , i , 2. 
Inscrivez dans les quatre tangentes A, B, C, D deux coniques 
arbitraires S l5 S 2 (les deux ellipses infiniment aplaties représen- 
(*) Comme nous le verrons plus loin, si les deux points de contact de la 
tangente double sont distincts, ces courbes sont du quatrième ordre , et elles 
sont affectées de trois points de rebroussement ; si les deux points de contact 
sont confondus, la courbe est du troisième ordre , elle est affectée d’un point 
de rebroussement , et la tangente double donnée est la tangente au seul point 
d'inflexion que possède la courbe. 
