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métique est toujours plus grande que la moyenne géométrique. Or 
cette inégalité est contraire à l’expérience, puisque d' est toujours 
inférieur à la moyenne arithmétique; donc, si c est négatif, il faut 
que ce soit par le second cas. Or ici la première inégalité suffit 
pour la même raison que plus haut; donc pour que c soit négatif\ 
il faut que d' soit plus petit que la moyenne géométrique de det d". 
Pour c > 0, il faut que l’on ait à la fois soit d’* do" et 
2<?' < d", soit «T 2 < dd" et 2<T> d-t-d". Le second cas est 
impossible théoriquement; reste le premier cas seul possible; les 
deux conditions qui y sont exprimées sont indépendantes l’une de 
l’autre; en d’autres termes, pour que c soit positif, il faut que 
d'soit compris entre la moyenne arithmétique et la moyenne géo¬ 
métrique de d et d". 
Nous allons démontrer expérimentalement que cette dernière 
condition est toujours remplie. 
Expérience. Si l’on produit trois zones concentriques, parfaite¬ 
ment graduées pour une lumière déterminée, la zone claire (ou 
intérieure) gagnera en éclat relatif si l’on diminue la lumière 
(si, par exemple, on éloigne la bougie); elle perdra en éclat rela¬ 
tif, si, au contraire, on augmente la lumière. En d’autres termes, 
si d , d ' et d" sont les éclats relatifs des teintes graduées pour une 
distance déterminée = \ du foyer lumineux, il faudra, pour con¬ 
server la gradation, diminuer d" si le foyer s’éloigne, l’augmenter, 
au contraire, si le foyer se rapproche. 
Cette expérience est saisissante et concluante. Nous la discuterons 
plus loin. Les deux théorèmes suivants s’appuient sur ce résultat. 
Théorème IV. d'est plus petit que la moyenne arithmétique 
entre d et d". 
Démonstration. On a, par hypothèse, pour une lumière donnée : 
s' — s = s" — s' ; 
, «\ 
d’où l’on tire en vertu de la formule s — log ——- : 
c + r _ c-*-d" 
C -4- d c -h d' 
ou encore : 
J' 2 H- 2c^' =z(d -t- J") C -h dd" .(i) 
