( 14 ) 
puis 
II. On a trouvé, ci-dessus : 
M 
J = VAd.u cos^ (10), cos ^ = -—-(19) . M 2 = AC — B*— CU*. (24) 
y AC 
Mais, la directrice étant une trajectoire orthogonale, U = 0; donc 
les formules (55) et (10) sont équivalentes. 
III. D’après les valeurs (22), et en supposant toujours que la 
directrice soit une trajectoire orthogonale, l'élément d’une courbe 
quelconque, tracée sur la surface, est déterminé par la formule 
ds 2 = (A -+- 2Bc -+- Cf 2 ) du- -h dv 2 .(36) 
Ce résultat s’accorde avec un théorème de M. Bour (*). 
25. Application à l'hyperboloïde gauche de révolution. — Une 
génératrice quelconque peut être représentée par 
x z y z 
— = — cos u -f- sm u , — =r — sin u — cos u. . . (a) 
x y a. y 
Comparant avec les équations (1), on trouve : 
G = 0, 
r 
n — —— ; 
l ^ xr -4- y* 
L’équation (28) devient donc, simplement, 
a 2 
v = H — u .. (b) 
V' x 2 -y y- 
■s, 
O Journal de l'École polytechnique , 59 e cahier, p. 51. Ce jeune géomètre, 
déjà illustre, vient d'être ravi à ses nombreux amis et à la science. Il n’avait 
que trente-trois ans 1 (Juin i866.) 
a 
x sin u , 
•x 
V X 2 - 4 - y- 
b = 
: cos u, m = 
— x cos u, 
a 
V x 1 -y y 2 
sin ?/ 
puis 
U 
x< 
X- -4- y- 
