( 10 ) 
d’où 
rp co = (in -h 1 ) 
2 
a* 
w) 
(/' 
(A) 
Cette dernière équation appartient évidemment à des hélices, 
toutes égales entre elles, coupant le plan des xy sous un angle 
dont la tangente est—— 1 — 7 , et qui tournent, les unes dans un 
0 a 2 -+- y 2 
sens, les autres dans le sens opposé. Les surfaces dont il s’agit 
sont donc des héliçoïdes à noyau plein et à plan directeur. 
25. Les intersections de ces héliçoïdes avec l’hyperboloïde, c'est- 
à-dire les trajectoires cherchées , se projettent, sur le plan des xy, 
suivant des spirales dont l’équation est, par ce qui précède, 
x sin 
zp y cos 
0 
i x 2 -+- y 2 
r o$-\ 
a' 2 y 
-h y 2 
h — y 
h — y 
y 
V^-’ïï 
y/ 2 ?-)]- 
• (g) 
Pour plus de simplicité, on peut supposer h = 0 : car toutes ces 
spirales sont égales entre elles. On peut aussi remplacer les coor¬ 
données rectangulaires x, y par w cos a, iv sin a. 
Au moyen de ces modifications, l’équation (y) devient 
zt co = 
a 2 -+- y 2 
ô 2 
— 1 
a 
-h arc sjn- 
IV 
Sous cette forme, on voit que les projections horizontales des 
trajectoires ont quelque analogie avec la développante du cercle. 
111 . — Quadrature de la surface. 
a 
20. Prenons, pour élément d’une surface gauche, le petit rec¬ 
tangle compris entre deux génératrices et deux trajectoires or¬ 
thogonales : nous aurons, en appelant S l’aire cherchée , 
d S = ds dv ; 
