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des surfaces gauches, permet d’étendre la notion de ces lignes 
aux surfaces non réglées, mais à courbures opposées. A ce point 
de vue, l’énoncé précédent devient une définition. 
II. Soient abc , a'b'c' deux 
lignes de courbure constante: 
elles ne se rencontrent pas, 
, sans quoi, au point d’inter¬ 
section, la courbure de la 
surface aurait deux valeurs 
différentes. Soit mbn la ligne 
asymptotique qui touche abc en b. La courbure en b est moindre 
(ou plus grande) qu’aux points /', g ; donc le point de la ligne 
de striction y situé sur une ligne asymptotique donnée , est le 
point de cette dernière ligne pour lequel la courbure k atteint 
son maximum ou son minimum (*), absolument comme si la 
surface était réglée (55). 
57. Application ci Vhyperboloide. — D’après la formule (d) de 
l’article 54, l’équation des lignes de courbure constante est 
a étant une constante. D’ailleurs les lignes asymptotiques, c’est- 
à-dire les génératrices, sont représentées par 
x z y z 
— = — cos u -+- sin u, — = — sin u — cos a. ... (b) 
a. y fi y 
L’élimination de a? et de y , entre ces trois équations, conduit à 
cos 2 a sin 2 u 1 \ /1 1 \ fsii \-u cos 2 a 
— —i-- —\- —- s 2 +2ysin u cos a — — — U *4- x 2 --+- 
a 2 fi 2 r 2 / \æ 2 ,3 2 / \ a 2 ,3 2 
= 0 . 
i) i 
( ¥ ) Société Philomathique ; juillet 1865, 
