( 45 ) 
La condition du contact entre les deux lignes donne ensuite 
y 5 (<x a — S 2 ) sin u cos u 
a 2 /3 2 •+- (a 2 sin 2 u ,3 2 cos 2 w) y 
a ’ 
(d) 
puis 
X = 
a 3 (,3 2 -4- y 2 ) sin u 
(a 2 sin 2 u -4- ,3 2 cos 2 w) 7 ' 2 ’ ^ # 2 3 2 h- (a 2 sin 2 w -h j3 2 cos 2 u) y 2 
— (3 3 (a 2 -h y 2 ) cos w 
(*) 
Ces valeurs sont précisément celles que nous avons trouvées 
précédemment (28); par conséquent, l’élimination de u conduirait 
aux équations (40) et (41) de la ligne de striction. 
58. Remarques. — Le paramètre a , qui figure dans l’équation 
(a) des lignes de courbure constante, représente la distance du 
centre de l’hyperboloïde au plan tangent. Conséquemment : 
4° Sur rellipsoïde et sur les deux hyperboloïdes, les lignes de 
courbure constante coïncident avec le lieu des points de contact 
des plans tangents dont la distance au centre est constante ; 
2° Si un plan roule de manière à toucher constamment une 
sphère et une surface du second ordre, concentriques, le lieu des 
points de contact avec la surface est une ligne de courbure con¬ 
stante ; 
5° Dans le cas où la surface est un hyperboloïde gauche , chaque 
ligne de courbure constante touche une certaine génératrice (*) : 
le point de contact appartient à la ligne de striction. 
59. Application au paraboloïde hyperbolique. 
étant représentée par 
x* if 
on a : 
2z =- 
a 
x w 1 A 
P — ~> ( l — ~i r — — •> s — 9 y t — 
a 3 « 
- Cette surface 
. . . . (a) 
i 
3, ’ 
P 
(*) Société Philomathique ; juillet 1863. — Plus exactement , chaque ligne 
de courbure constante louche deux génératrices : l’une appartient au premier 
système, l’autre au second. 
