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On tire, de cette équation : 
rt — s 2 
y 
i 
y — -z* 
x 2 f xf 
y(**r - vD 
yf -Vf'* _ _T . 
x 3 / 73 ’ x 2 / 73 ’ 
x*r 
1 X 4 / 72 H- X 2 -h y 2 
-, 1 + p*+q* = 1 
x 4 / 72 F 1 
k — 
x 4 /-' 2 
x 4 / 72 
[x 4 / 1 ' 2 -h X 2 -f- y 2 ] 2 
■ (a) 
• ( 6 ) 
• (c) 
• (d) 
i° L’équation différentielle des lignes asymptotiques est 
y ( w 2x / ' 2 — y/ 7 ') dx 2 4-2x (i//" - x/ 72 ) dx dy — x 2 f". di/ =0. (e) 
On peut l’écrire ainsi : 
Sx/ 1 ' 2 (ydx — xdy)dx — f"{ydx — xrîy) 2 — 0; 
et alors on voit qu’elle se décompose en 
ydx — xdy — 0 . . (/), 2xf* — f" (ydx — xdy) = 0. . . (y) 
L’intégrale de l’équation (/) est -~ = const., ou z = const. Les 
OC 
lignes asymptotiques du premier système sont donc, ainsi qu’on 
s’y attendait, les génératrices rectilignes. 
Quant à l’équation (g), il est visible qu’elle équivaut à celle-ci : 
d oc 
2 f -h f"dz— 0, 
x 
dont l’intégrale est 
x*f'(z)=h, . (76) 
h étant une constante. Les lignes asymptotiques du second sys¬ 
tème sont donc représentées par l’ensemble des équations (75) 
et (76). 
2° D’après la formule (d ), la courbure de la surface, en un 
