( 33 ) 
64. Remarques. — I. Si la directrice est une trajectoire ortho¬ 
gonale, U = 0; donc 
ou, si l’on veut, 
du 2 -+- dv-\ 
du 
d.s = — h 7 (AG — B 2 ) C^-h (BC'— CB') 2 . 
G 2 
(80) 
(81) 
II. D’après les formules 
M = ( mn' — nnT) a' -+- (ni' — In') b' ( Im ' — ml') c . .(15) 
M 2 = AC — B 2 — CU 2 ,.(24) 
la valeur de d (62) se réduit à 
(82) 
(83) 
Il est facile de vérifier géométriquement cette expression très- 
simple de lapins courte distance entre deux plus courtes dis¬ 
tances. 
VIII. - Se R LES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 
63. Avant d’aller plus loin, et afin de pouvoir retrouver quel¬ 
ques propriétés de la surface dont, les génératrices sont les nor¬ 
males principales de deux courbes , propriétés déjà démontrées 
par MM. Bertrand et Paul Serret (*), nous placerons ici un certain 
nombre de formules et de relations, la plupart peu connues, 
(*) Bertrand, Journal de Liouville , t. XV; P. Serret, Théorie nouvelle des 
lignes à double courbure , pp. 109 et suiv. 
