( 64 ) 
IX. — Ligne de courbure moyenne nullf. — Lieu des normales 
PRINCIPALES DE DEUX COURBES. 
80. Problème. — Trouver, sur une surface gauche donnée, le 
lieu des points pour lesquels les rayons de courbure de la surface 
sont égaux et de signes contraires (*). 
Si, en un point de la surface, les deux rayons de courbure 
principaux, R,, R 2 , sont égaux et de signes contraires, c'est-à-dire 
si la courbure moyenne, ^ 
l’on sait, 
(1 - 4 - p 2 ) t — 2 pqs + (1 + f /) r = 0. (a) 
— ) (**) est nulle, on a, comme 
Pour développer cette équation, reprenons les valeurs trouvées 
dans le Chapitre I : 
ny' — mz’ 
hi — mx’ ’ 
Iz r — nx' 
ly — mx' 
? 
2M >/ — N m 
r = m -, s — 
(h/mx'Y 
M(/t/ -h mx’) — 'Sim 
(h/ — mx'f 
t = l 
2 Mar —X/.. 
{ly'—mxf 
Il en résulte : 
l r — -i 2M Ux' H- my') — N(/ 2 -t- m 2 )], 
(. ly’ — mx) z 
1 
p 2 / — 2 pqs -m fr =— -- [2M (px f -h qy') (pl -4- qm) - S (pl -h qm)' 2 ]. 
(ly — mx’f 
Mais (9) 
px' -4- qy' — z', pl -4- qm = n : 
(*) Ce problème a été résolu par M. Bertrand. (Journal de LiouriUe , 
tome XV, p. 534). Antérieurement, M. Brasseur avait considéré le cas très- 
simple des surfaces gauches du second degré. (Mémoires de la Société des 
sciences de Liège , tome I). 
(**) Cette dénomination de courbure moyenne a élé proposée par M. l)e- 
launay. (Journal de Liouville , tome VI). 
