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et, aux quantités 
s'x" — x's", s'y" — y's", s'z" — z's". 
L’équation (c) exprime que l’angle OMN est droit, ou que MO , 
rayon de courbure de la trajectoire orthogonale EMF, est dirigé 
suivant la génératrice MG. Autrement dit : en chaque point M de 
la ligne de courbure moyenne nulle, le plan oscillateur de la 
trajectoire orthogonale EMF se confond avec le plein tangent à 
la surface gauche (*). 
82. Remarques. —*1. Si la ligne de courbure moyenne nulle 
coupe à angle droit toutes les génératrices, c’est-à-dire si elle est 
une trajectoire orthogonale, la surface gauche proposée est le lieu 
des normales principales de cette ligne (**). 
II. Soit PMQ la section faite, dans la surface, par un plan 
perpendiculaire à MG. La courbure moyenne de la surface étant 
nulle au point M, et la section normale N MG ayant une courbure 
nulle, il en est de même pour la section normale PQ, perpendi¬ 
culaire à la première : en M, le rayon de courbure de cette section 
est infini. Conséquemment, d'après le Théorème de Meusnier, 
le rayon de courbure de toute ligne tracée sur la surface et tan¬ 
gente, en M, à la section PQ, est infini en ce même point M. 11 
n’y a d’exception que pour les lignes dont le rayon de courbure 
est dirigé suivant la génératrice MG : ce rayon peut avoir une 
grandeur quelconque (**‘). 
83. On a 
x' — a' -h i v, y' — b’ - 4 - m’v, z' = c' n* v, 
x" = a'-+-l"v, y"=b"+m"v, s"=c"-4-n"tv 
(*) Pour éviter une longue périphrase, j’appelle ligne de courbure moyenne 
nulle la ligne telle, qu’en chacun de ses points, la courbure moyenne de la 
surface est nulle. — Voyez la seconde note de la page 43. 
(**) Bertrand, Journal de Liouville, l. XV, p. 333 et su i v. 
O*') Comme exemple de ce cas d’exception, il suffit de citer la surface de 
la vis à filet carré: les trajectoires orthogonales des génératrices sont des hé¬ 
lices, lignes de courbure moyenne nulle, dont les rayons de courbure,dirigés 
suivant les génératrices, ont des grandeurs finies. 
