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conséquemment, l’équation (130) devient, étant développée : 
en supposant : 
(131) 
P = l"{nm' — mn' ) ■+■ m'\l\ï — ni' ) -4- n"{ml' — lm' ), \ 
Q =a"{nm' — mn' ) -t- b" {lu' — ni') -+- c”{ml' — lin’ ) { 
— a'[nm "— mn") — b' (la" — ni") — c' {ml" — lm"), ^ 
R — a"{nb' — me' ) -4- b" {le' — na') -4- c" {ma' — lb’). 
L’équation (131) étant du second degré, il en résulte qu’ « il y 
a, sur chaque génératrice, deux points, au plus, pour lesquels 
les rayons de courbure sont égaux et de signes contraires. Le 
lieu des points jouissant de cette propriété est donc composé de 
deux courbes distinctes (*) qui peuvent se confondre ou dispa¬ 
raître si les racines sont réelles ou imaginaires. Si l 3 équation 
(151) est identique, tous les points de la génératrice satisfont 
à la condition demandée. » (Bertrand). 
84. Application et Vhyperboloïde. — Si, dans l’équation, 
(1 -4- p-)l — 2 pqs -4- (1 -4- cp)r = 0,. {a 
on substitue les valeurs suivantes, trouvées précédemment (53) : 
y 2 x 
y- v 
r' 
P= ^7- Ï = 7Î7’ s = 
r 4 , r { , . 0 
- T37 1 = -^77 [tf-x 2 
x-3- 
% 
on trouve 
= 2 (.r 2 -h ?/ 2 * 2 - ;3 2 ) -+-r 4 (7 
IMS 
y 
,3 2 
^77 = 0. (6) 
Mais 
v.ü „-2 
x y~ 
— —j— — — 1 — 1 
x 
y 
• {c) 
O Ou plutôt de deux branches. 
