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5° Si y est compris entre a et /3, les deux ellipses sont sécantes : 
une partie seulement des génératrices sont rencontrées par la 
ligne de courbure moyenne nulle. 
4° Lorsque 
y — a, 
l’ellipse (cl) est tangente, intérieurement, à l’ellipse de gorge. Les 
deux sommets communs sont les seuls points de l’hvperboloïde 
où la courbure moyenne soit nulle. 
5° Enfin, lorsque y surpasse a, la splière, si elle existe, ne 
rencontre plus l’hyperboloïde : en aucun point de cette surface, 
la courbure moyenne n’est nulle. 
86. Remarques. — D’après un théorème de Monge, la sphère 
(155) est le lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle, 
circonscrit à l’hyperboloïde. De là résulte, ainsi qu’on peut le 
vérifier directement (*), que la ligne de courbure moyenne de 
l’hyperboloïde est le lieu des inter sections de deux génératrices 
orthogonales. 
87. Ce théorème, à peu près évident pour les surfaces gauches 
du second degré, peut être étendu, non-seulement à toutes les 
surfaces gauches, mais encore à toutes les surfaces à courbures 
opposées. 
Prenons, en effet, l’équation des lignes asymptotiques : 
du 
+ 2s —-t- r =: 0, 
dæ 
(75) 
et représentons par B 
que 
,, ô, les racines de cette équation, de manière 
25 
( ’ <,,év 
r 
En exprimant que les deux lignes asymptotiques qui passent au 
point (x, y , z) sont orthogonales, et en ayant égard à la relation 
dz = pdx -H qdy, 
O Bertrand, Journal de Liouville,t. XV, p. 542. 
