( 70 ) 
on trouve 
c’est-à-dire 
i 4 - ô, & 2 4 - (p -h ge,) (p qe. 2 ) — 0 ; 
1 4- p- 4- pg(0, 4- e a ) 4- (1 4-- g 2 ) 5,0 2 = 0 ; 
( 6 ) 
puis, à cause des valeurs (a) : 
(I 4 - p*) t — 2 pqs 4- (1 4 - g 2 ) r = 0. 
r 9 
Cette équation appartient à la ligne de courbure moyenne nulle. 
On a donc ce théorème : 
Sur une surface quelconque, à courbures opposées, la ligne de 
courbure moyenne nulle coïncide avec le lieu des intersections de 
deux lignes asymptotiques orthogonales . 
88. Problème. (*) — Quelle est la courbe C dont les normales 
principales coïncides avec les normales principales d’une seconde 
courbe C, ? 
Si la ligne C est prise pour directrice de la surface gauche formée 
par les rayons de courbure, l’équation (151), qui représente CctC,, 
doit être vérifiée par v — 0; ce qui exige que R soit nul. En même 
temps, les lignes C etCj étant des trajectoires orthogonales delà 
surface, la seconde racine de l’équation (151) doit se réduire à une 
constante (16). Autrement dit, la courbe C est définie par la re¬ 
lation 
— = — v — consi 
P 
(154) 
Développons cette équation. 
86. En premier lieu, si nous prenons l’arc de la courbe C pour 
variable indépendante, nous aurons (66) : 
l = pa", 
V — p'a", 
l"—pa lv 4-2pV"4'|5"ft'', 
m = pb' r , n — pc '', 
m' = pb r " 4- p'b ’', n r = pc"'-\- p'c", 
m"=/p6 IV 4-2/>'fc"'4- p"b’', n”=pc ly -\- < Hp’c'"-\-p"c'’. 
(*) Résolu par M. Bertrand (Journal de Liouville , t. XV, p. 545). 
