(137) 
( 72 ) 
90. L’intégrale de l’équation (136) est 
i = Il 
p v r 
(J désignant la constante arbitraire. 
« Telle est la relation fort simple qui doit exister entre les deux 
» rayons de courbure d’une courbe pour que les normales prin- 
» cipales soient en même temps normales principales d’une autre 
» courbe. » (Bertrand). 
91. M. Paul Serret, complétant le théorème de M. Bertrand, 
a prouvé que la constante g représente la cotangente de l'angle © 
formé par les tangentes aux deux courbes C , C,, en deux points 
correspondants (*). 
Pour vérifier celte dernière propriété, j’observe que 
cos y = 
ou, d’après les formules (51), (17) et (52) : 
A 4- B y 
(158) 
COS Ÿ = 
VA VA 4- 2Bc 4- Cd 2 
L’are g étant pris pour variable indépendante, on a : 
A = a' 2 4- b n 4- c' 2 — J {a) , 2 a'a" = 0, 2 a'a 
1 
D’un autre côté, à cause de 
/ = pa ", m = pb", n = pc " : 
( 86 ) 
. (b) 
C = 2/'2 = p a 2a"" 2 4- 2pp'Za"a'" 4-* 
f y2 
(*) Théorie nouvelle 
, p. 110. 
