SURFACE REGLEE ENGENDREE PAR UNE DROITE. 15 
précède que leur lieu est celui des droites d’intersection des 
plans rectangulaires passant par la tangente MB à la trajec¬ 
toire (M) de M et par la parallèle MG à L. On sait que ce lieu 
est un cône du second ordre dont les plans cycliques réels sont 
perpendiculaires aux droites MG et MB. De plus, le lieu des 
points I où ces droites sont tangentes à la trajectoire d’un de 
leurs points se projette, suivant un cercle, sur un plan perpen¬ 
diculaire à l’axe L, puisque tout point I est le pied de la per¬ 
pendiculaire commune à une droite D et à L. 
A chaque position du système correspond ainsi un complexe 
du second ordre dont les droites engendrent des éléments de 
surfaces développables. 
Pour qu’il existe des droites D telles que les surfaces (D) 
soient développables, il faut et il suffît que les complexes rela¬ 
tifs aux diverses positions du système aient une ou plusieurs 
droites communes, qui seront alors les droites cherchées. Il est 
clair que, dans le cas particulier où le mouvement du système 
est un mouvement hélicoïdal uniforme dont l’axe est fixe, ces 
complexes sont identiques, en sorte que toutes leurs droites 
répondent à la question. 
Remarque. — Dans son grand ouvrage (Principes et déve¬ 
loppements de géométrie cinématique , pp. 100 et 110), M. Mann¬ 
heim a donné la construction, rapportée ci-dessus, du plan cen¬ 
tral et du point central de (D). Le savant auteur a fait connaître 
en même temps, sous une forme qui diffère de la précédente, la 
condition pour que D engendre un élément de surface déve¬ 
loppable. 
III. Pour terminer, j’indiquerai comment on peut appliquer 
ces résultats au cas où le mouvement du système est produit 
par le déplacement du trièdre principal Oxyz d’une courbe (O). 
Les axes O#, Oy, O z sont alors dirigés respectivement sui¬ 
vant la tangente, la normale principale et la binormale de la 
courbe (O) en l'un quelconque de ses points O . 
On sait que, dans ce cas*, l’axe instantané correspondant à 
* Pour ce résultat et les suivants, on peut consulter l’ouvrage de 
M. Darboux (Ire partie, pp. 8 à 10). 
