SURFACE REGLEE ENGENDREE PAR UNE DROITE. 17 
x 0i i/o , z 0 désignant les coordonnées d’un point particulier A 
de la droite., et a, b, c les paramètres directeurs de cette droite. 
Il est essentiel de remarquer que lorsque le trièdre O xyz se 
déplace, les quantités x 0 > ?/o, z 0 , a, b, c rastent constantes 
puisque D est invariablement liée à ce trièdre. 
. On exprimera que D engendre un élément de surface déve¬ 
loppable en écrivant, conformément à ce qui a été déjà dit (§ II), 
que le plan mené par D, parallèlement à l'axe instantané L, est 
perpendiculaire à celui qui passe par D et le déplacement du 
point A ( x 0 , i/o, Zo) dont les projections, sur les axes du trièdre 
O xyz, sont proportionnelles aux quantités 
I/o Xo Zo I/o 
1 , , . 
p p T T 
La condition, aisée à trouver, est fournie par la relation 
ac , b 2 4- c 2 
- h —-= O ,:■ • 
p T 
entre les coordonnées pluckériennes de la droite D, et de la¬ 
quelle on déduit ce résultat, déjà énoncé pour le mouvement le 
plus général à cinq conditions d’un système invariable, à savoir 
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que, pour tout système de valeurs de - et de -, c’est-à-dire 
p T 
dans toute position du trièdre O xyz, les droites D engendrant 
des éléments de surfaces développables forment un complexe 
du second ordre. 
Ceci posé, pour qu’il existe des droites D engendrant dés 
surfaces (D) qui soient développables, il faut et il suffit évi¬ 
demment qu’on puisse trouver pour les coordonnées plucké¬ 
riennes des valeurs constantes telles que la relation (3) soit 
1 1 
vérifiée par tous les systèmes de valeurs des courbures - et - 
P v 
dè la courbe (O). 
D’abord, quelle que soit cette courbe, l’équation (3) est 
satisfaite, si les coefficients des puissances de - et de - sont 
P T 
nüls et, seulement, dans ce cas. On trouve ainsi les droites D 
» i 
parallèles à la tangente Ox qui sont contenues dans le plan 
10 e série. — TOME i. 
