MÉMOIRES. 
1.8 
rectifiant zOx et les normales isotropes de (O). On peut donc 
énoncer ce premier résultat. 
Les seules droites D qui, dans le cas où la courbe (O) est 
quelconque, engendrent des surfaces développables dans le 
déplacement du trièdre principal de cette courbe, sont les 
parallèles à la tangente Ox situées dans le plan rectifiant et 
les normales isotropes de la courbe. 
Pour qu’il y ait d’autres droites D possédant la même pro¬ 
priété, il. faut que les courbures de la courbe (O) satisfassent à 
une relation de la forme, 
4 + - + 
p* pT 
G 
A, B, G, D, E désignant des constantes définies par les for¬ 
mules 
A —c{ay 0 — bæ 0 ), B — c{bZo — cyf)-\-a(ay 0 — bXo). t C — a(bz 0 — cy 0 ), 
D = — ac, E = 6 2 + c 2 . 
La réciproque est vraie. Si les courbures d’une courbe (O) 
sont liées par une relation de la forme (4), où A, B, G, D, E dé¬ 
signent des constantes, il existe des droites D, distinctes des 
parallèles à Ox et des normales isotropes, qui engendrent des 
surfaces développables. 
Je n’exposerai pas ici cette discussion qui a été déjà faite par 
MM. Gésaro (. Mathésis ), t. X, pp. 5-11, 37-42, 57, 62) et An- 
drade (C. iL, t. CXXII, 1896, pp. 1110-1113), et je me bornerai 
à résumer les résultats auxquels on parvient : 
1 ° Si les deux courbures de (O) sont constantes, auquel cas 
cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre de révolution, 
les droites cherchées sont les tangentes aux trajectoires des 
points invariablement liés au trièdre O xyz et forment un com¬ 
plexe de second ordre (II). 
2° Si la relation (4) entre les courbures de (O) est indécompo¬ 
sable et, de plus, si le coefficient D n’est pas nul, il existe seu¬ 
lement quatre droites D, réelles ou imaginaires, répondant à la 
question. , 
