SURFACE RÉGLÉE ENGENDRÉE PAR UNE DROITE. 19 
Si cette relation, supposée toujours indécomposable, manque 
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du terme en - , on doit avoir G — o, ce qui signifie que la re- 
P 
lation doit être de la forme 
A t B 4 E 
~2 H-1— — 0 • 
pT T 
Dans ce cas, il existe une infinité de droites D engendrant 
des surfaces développables, toutes parallèles au plan nor¬ 
mal yOz de (O) en O et qui sont les génératrices rectilignes du 
conoïde du troisième degré représenté par l’équation 
(A^ + Ba?) (E xy —Asr -f— Ba?) + A 2 ?/ 2 =z o . 
3° Si la relation (4) entre les courbures se décompose, cette 
relation peut être linéaire et homogène ou simplement linéaire. 
Dans le premier cas, le rapport des courbures est constant 
et (O) est une hélice tracée sur un cylindre G. Il existe alors 
une infinité de droites D engendrant des surfaces développa¬ 
bles. Ges droites sont parallèles aux génératrices du cône K du 
second ordre, lieu des droites d’intersection des plans perpen¬ 
diculaires entr’eux menés par la tangente Ox de (O) et la géné¬ 
ratrice du cylindre G issue de O. Par tout point M invariable¬ 
ment lié au trièdre O xyz passent deux droites répondant à 
la question, et l’une d’elles est parallèle aux génératrices de G. 
Il n’y a d’exception que pour le point O, par lequel passent une 
infinité de ces droites qui sont les génératrices du cône K dé¬ 
fini précédemment. De plus, les surfaces développables engen¬ 
drées par les droites D sont des hélicoïdes, et ces droites D 
forment une congruence. / 
4° Si la relation entre les courbures de (O) est linéaire et 
présente un terme indépendant, cette courbe (O) est une courbe 
de Bertrand proprement dite à laquelle on doit adjoindre la 
courbe de Bertrand conjuguée (O'). Dans ce cas, les droites D 
engendrant des surfaces développables sont : 1° les parallèles 
aux tangentes des deux courbes situées dans leurs plans recti¬ 
fiants respectifs ; 2° des droites parallèles à chacun de leurs 
