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MÉMOIRES. 
plans oscillateurs rencontrant respectivement deux droites 
fixes OH et O'H' qui sont les parallèles menées à la binor- 
male de l’une des courbes (O) et (O'), par le point corres¬ 
pondant de l’autre, et dont le lieu est formé de l’ensemble 
de deux paraboloïdes hyperboliques; 3° les droites isotropes 
rencontrant à la fois OH et O'H', dont le lieu est une surface 
du quatrième degré. 
Les courbes dont l’une des courbures est constante et 
celles dans lesquelles le rapport des courbures est constant 
sont des cas particuliers des courbes de Bertrand. Un cas, plus 
particulier encore, est celui dans lequel (O) est une courbe 
plane. Les droites répondant à la question sont alors, outre les 
parallèles à la tangente Ox situées dans le plan rectifiant, les 
droites parallèles ou perpendiculaires au plan de la courbe, et 
les droites contenues dans le plan normal. Ce cas est aussi le 
seul où des droites parallèles à la normale principale de (O) en¬ 
gendrent des surfaces développables. 
En résumé : 
Pour qu'une droite , distincte des parallèles à la tangente 
de (O) situées dans le plan rectifiant de (O) et des normales 
isotropes de cette courbe , engendre une surface développable, 
il faut et il suffit que (O) soit une courbe de Bertrand ou que 
ses courbures soient liées par une relation du second degré 
sans terme indépendant . Si cette condition est satisfaite , il 
existe, suivant les cas , un nombre limité de droites D répon¬ 
dant à la question , ou bien il y en a une infinité qui forment 
soit une surface, soit une congruence, soit un complexe du 
second ordre. 
Dans tous les cas, d’après ce qui a été vu au § II, l’arête de 
rebroussement de la surface développable est le lieu du pied I, 
sur D, de la perpendiculaire commune à cette droite et à l’axe 
instantané L. En outre, cette perpendiculaire commune est, à 
chaque instant, la normale principale de l’arête de rebrousse¬ 
ment considérée. 
