146 MEMOIRES. 
remplaçant respectivement dans U et Y les lettres u et v par x, 
l’identité (1) donne pour u = v — x : 
(Z- 
/ 1 
V V?'" 
f") 
1° Supposons d’abord que l’on ait : 
V d<p 
?p 
VF 
L’identité zz o, où l’on fait u — v — x montre, que 
vil 
f" et o ,n doivent être identiques: par un changement d’axes 
on peut donc supposer que f et cp sont identiques. L’identité 
VF f IV 
zz o montre alors que — est indépendant de p. En dispo¬ 
sant convenablement de p, on a par suite : 
L’identité 
VF 
— o montre alors que la fonction vérifie 
l’équation : 
et cette condition est suffisante pour que l’on ait l’identité (1). 
2° Supposons que l’on ait f — cp"' — o; f — ç sera un tri¬ 
nôme du second degré en x; nous venons en somme de traiter 
le cas où ses coefficients ne dépendent pas de p; il nous reste à 
examiner le cas où ils dépendent de p. Soit : 
f — cp zz ax 2 + bx -f c. 
IF 
L’identité -— — o montre que : 
t)U 
