( Il ) 
16. Si a, b sont les rayons de courbure principaux, l’oscula- 
tricc est représentée par le système 
U 111 
-=tgto, x- -+- y 1 -4- z 2 — 2Rs = 0, — = -cos 2 « -+- - sin 2 w; 
x R a o 
ou par l’équation unique 
{x* + î/ , + ^) (ay~-i-bx-) = %ab (x* ■+■ y-) z . . . . ( 17 ) 
17. Lorsque a, b sont de signes contraires, Vosciilatrice admet 
deux sections rectilignes (B). 
18 . Si b — — a, c'est-à-dire si la courbure moyenne est nulle, 
lequation précédente se réduit à 
(. x 2 -h if h- s 2 ) ( x 2 — y-) = 2a (, x 2 -+- y*). 
La discussion de cette équation, la construction de Y épure, et 
même la construction de la surface, sont alors des problèmes 
très-simples. 
19 . La surface réciproque de l’osculatrice, le pôle étant à l’ori¬ 
gine, est évidemment un conoïde. La recherche des lignes de 
courbure de l osculatrice se ramène donc à celle des lignes de cour¬ 
bure du conoïde réciproque \ Au moyen des formules 
x y z u k 2 
x ~Y~ z u “ü 2 ’ 
on trouve, en partant de l’équation (17) : 
A: 2 (aY 2 -h 6X S ) = 2a6 (X 2 -+- Y 2 ) 5. 
20. Remarque. Le lieu de l’axe CD du cercle oscillateur M gh 
est aussi un conoïde : cette nouvelle surface est représentée par 
ab ( x 2 H- y 2 ) — (ax- -+- by 2 ) 
Mémoire sur les surfaces gauches à plan directeur (Journal de l’École 
polytechnique . 29 e Cahier). 
