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21. On trouve aisément que l’aire et le volume de l’osculatrice 
sont donnés par les formules 
A — In (a -+- b) yab , 
— (5a 2 -t-2ab-+-56 2 ) Vab (B). 
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IV. — Surfaces à pente constante *. 
22. Je rappelle d’abord ces propriétés connues : 
4° Les lignes de courbure d’une surface à pente constante sont 
les génératrices rectilignes et leurs trajectoires orthogonales, 
c’est-à-dire les lignes de plus grande pente et les lignes de niveau ; 
2° Les lignes de niveau sont des courbes parallèles **; 
5° L’arête de rebroussement est une hélice tracée sur un cy¬ 
lindre ayant pour section droite la développée d’une ligne de 
niveau. 
23. Par conséquent, toute surface à pente constante est un 
héliçoïde développable (B). 
24 . AMB (fig. 7) étant 1 hélice générale dont il s’agit, soit amb 
sa projection horizontale; soient MT, mT les tangentes en deux 
points correspondants; MC, me les rayons R, p des cercles oscilla¬ 
teurs : ces rayons sont parallèles, parce que AMB est une ligne 
géodésique du cylindre (B). 
Soient encore M', m' deux points correspondants, infiniment 
voisins de M, m. Si l’on abaisse M'P, m'p , respectivement per¬ 
pendiculaires à MC, me, les points P, p seront situés sur une 
même verticale ***. 
Ces surfaces sont souvent attribuées à M. de S^Venant, bien que Monge 
s’en soit occupé (Analyse app., §§ VIII). 
** La considération des courbes parallèles, c’est-à-dire ayant mêmes plans 
normaux , est due, je pense, à M. Camille Laduron. Elle est, en quelque sorte, 
corrélative de celle des surfaces parallèles. 
*** La projection d’un angle droit est un angle droit, quand un des côtés 
de l’angle est parallèle au plan cle projection ; et réciproquement. 
