( 14 ) 
V. — Lignes de courbure planes. 
26 . M. Serret, dans l une de ses Notes sur le Calcul intégral 
de Lacroix *, s’énonce ainsi : 
« Si une ligne de courbure d’une surface est plane, les nor- 
» males de la surface, aux points de la ligne de courbure, forment 
® une surface développable dont l’arête de rebroussement... est... 
» une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque. » 
Cette proposition, évidente par les remarques précédentes, 
jointes au Théorème de Joachimstal, peut être complétée comme 
i! suit : 
1° La développable dont il s’agit est une surface à pente con¬ 
stante ; 
2° La base du cylindre est la développée de la ligne de courbure; 
5° Si une surface admet un système de lignes de courbures 
planes, l’une des nappes du lieu des centres de courbure est en¬ 
gendrée par une hélice variable (B). 
27. AB (fig. 8) étant une ligne de courbure d’une surface S, 
prenons des normales MN, M'N', M"N",... égales entre elles : le 
lieu de leurs extrémités est une ligne de courbure de la surface S , 
parallèle à S**. Les tangentes MT, NS sont parallèles, comme inter¬ 
sections de deux plans parallèles (les plans tangents en 31, N) par 
le plan de deux normales consécutives MN, M'N'. Autrement dit, 
le plan normal en M, à AB, est normal en N, à CD. Ainsi, quand 
deux surfaces S, S' sont parallèles, les lignes de courbure de la 
première sont, respectivement, parallèles aux lignes de courbure 
de la seconde (B). 
28 . En particulier : 
1° Toute surface S', parallèle à une surface S qui admet un 
* Tome II, p. 501. 
** Recherche des lignes de courbure.... (Mém. coi r. et Mém. des savants 
ÉTRANGERS, t. XXXII, p. 16). 
