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# Ces secondes lignes de courbure sont des courbes gauches, 
excepté quand la développable S se réduit à un cylindre : dans ce 
cas, ces lignes sont des développantes de la section droite du cy¬ 
lindre (B). 
31 . Remarque. Les trajectoires orthogonales d'un plan mo¬ 
bile P sont des courbes parcdlèles (B). 
32. Si C, C, sont deux lignes situées dans le plan P, et se cou¬ 
pant en M, les sur faces d'enroulement 2, respectivement 
engendrées par C, C l5 ont une ligne de courbure commune : c’est 
la trajectoire du point M. De plus, en tous les points de cette com¬ 
mune ligne de courbure, les deux surfaces se coupent sous un 
angle constant, conformément à un théorème connu (B). 
Soient, dans le plan P (fig. 9), un système de courbes AB, AjB t , 
A 2 B 2 ,..., dont les trajectoires orthogonales soient CCtC 2 , DDjD 2 , 
EEiE 2 . . Pendant le mouvement du plan, ces diverses lignes engen¬ 
drent deux séries de surfaces d’enroulement telles, que les sur¬ 
faces de la première série sont orthogonales relativement à celles 
de la seconde (B) *. De plus, toutes ces surfaces coupent orthogo- 
nalement les plans P, P', P",... (B). 
Voilà donc un système orthogonal triple, excessivement sim¬ 
ple (B). 
33 . Remarques I. Si les lignes AB, AjB^ A 2 B 2 ,... sont paral¬ 
lèles, les trajectoires CCiü,..., DD^..., deviennent les normales 
communes à ces lignes, et, conséquemment, le système se compose 
de surfaces parcdlèles, de surfaces développables et de plans (B) ; 
II. Si AB , AjBj,... se réduisent à des droites parcdlèles, il en 
est de même pour CD, CjDj, ...; et alors le système orthogonal est- 
formé de plans et de deux séries de surfaces développables paral¬ 
lèles (B) **; 
III. Soient S, S,, S 2 ,... les surfaces engendrées par AB, A,B,, 
* En effet, quand deux surfaces de révolution ont même axe, elles sont 
orthogonales si leurs sections méridiennes le sont. 
** Recherche des lignes de courbure..., p. 16. 
