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A 2 B 2 ,... D’après la propriété de la normale à une surface de révo¬ 
lution, la trajectoire orthogonale CC^ ..., dans sa 'position pri¬ 
mitive, est normale, en C, C 15 C 2 ..., à S, S,, S 2 , ... Mais, évidem¬ 
ment, une position quelconque du plan P peut être regardée 
comme position primitive ; donc les lignes CD, C,Di, C 2 D 2 , ... dans 
toutes leurs positions , coupent orthogonalement les surfaces 
S S 
O , Oj , O2 , ... 
IV. De même, les courbes AB, A.Bj,... dans leurs diverses posi¬ 
tions, sont les trajectoires orthogonales des surfaces S, S l5 S 2 , ..., 
engendrées par CD, CjD,, C 2 D 2 , ... 
V. Conséquemment, chacune des deux séries de surfaces admet 
une infinité de systèmes de trajectoires orthogonales, chaque sys¬ 
tème étant formé d’une infinité de lignes égales entre elles. 
34. Supposons, comme dans la Remarque II, que les lignes 
AB, A(B,, A 2 B 2 , ... soient des droites parallèles ; et supposons, en 
outre, que l’enveloppe du plan P soit un cylindre 2. Alors S, S,,S 2 ,... 
sont des surfaces à pente constante, égales entre elles ; S,, S 2 , S 3 ,... 
sont aussi des surfaces à pente constante, que l’on peut appeler 
complémentaires des premières. 
Vfll. — Trajectoires orthogonales des sections planes 
d'une surface. 
35 . Lemme. Si les génératrices G, G', G", ... (fig. 10) d'une sur¬ 
face S, rencontrent normalement une surface S', l’intersection 
AMM'M"... B, des deux surfaces, est une trajectoire orthogonale 
de G, G', G",... (B). 
36 . Tu éorème général *. Soient al), a'b', a"b",... les sections 
faites, dans une surface par des plans P, P', P",..., ayant 
une enveloppe E. Soient AB, A 1 B 1 , ... ce que deviennent ces lignes 
lorsque les plans mobiles, ayant roulé sur E, viennent se con- 
* Bulletins de VAcadémie , février 1872. 
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