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fondre avec un même plan n, tangent à E. Soient enfin CD, C D , 
C'D ",... les trajectoires orthogonales de AB, A'B , A"B' , ... Si le 
plan n s’enroule autour de E, de manière à prendre les positions 
P, P', P ", ..., les surfaces d’enroulement 2, 2', 2"? ••• engendrées 
par CD, CD', C'D", ... coupent S suivant des lignes cd, c'd', 
c"d",..., trajectoires orthogonales de ab, a'b', ... (B). 
Considérons, par exemple, la surface d’enroulement 2, engen¬ 
drée par CD. Celte surface 2, rencontrée normalement par AB, 
A'B', A"B ", ... ( 33 , IV), est rencontrée, normalement aussi, par 
les génératrices ab, a'b', a"b", ... positions initiales de AB, A'B , 
A"B" : l’intersection cd des surfaces 2, S est donc une trajectoire 
orthogonale des lignes ab, a'b', a"b", ... ( 35 ). 
37. D’après ce théorème, pour trouver les trajectoires ortho¬ 
gonales des sections planes d’une surface, il suffît de construire, 
dans un plan donné, les trajectoires orthogonales d’une série de 
lignes données : le premier problème, appartenant à la Géométrie 
de l’espace, est ramené à un problème de Géométrie plane , beau¬ 
coup plus simple. 
38. Pi 'entière application. Si les courbes ab, a'b', ... sont des 
circonférences concentriques, dont les plans passent par une 
même droite Oz, auquel cas la surface S est une cyclotomique , les 
trajectoires orthogonales cd, c'd', sont les intersections de S avec 
des cônes de révolution ayant O pour centre et Oz pour axe (B) * ** . 
39. Deuxième application. Supposons que les génératrices 
de S soient des circonférences ab, a'b', ... ayant leurs centres sur 
une droite Oz, et se coupant en un point O de cette ligne *\ Les 
trajectoires orthogonales cd, c'd',... sont les intersections de S 
avec les tores engendrés par les circonférences tangentes, en O, 
à l’axe Oz (B). 
En effet, les transformées des circonférences ab, a b', ... (fig. 11) 
* Mélanges mathématiques, p. 171. 
** VOseulatrice est un cas particulier de cette surface S. 
