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sont les circonférences AB, A'B', ... situées dans un même plan; 
et les trajectoires orthogonales de celle-ci sont les circonférences 
CD, C D', ... 
40 . Troisième application. Soit une surface gauche S, engen¬ 
drée par une droite ab rencontrant, sous un angle constant 0, 
une droite fixe Oz *. Les trajectoires orthogonales des génératrices 
sont les intersections de S avec des cônes de révolution autour 
de Oz. Ces cônes, tous égaux entre eux, ont pour angle généra¬ 
teur le complément de 0 (B). 
41 . Remarque. Si l’angle 4 est droit, la surface gauche devient 
un conoïde. Dans ce cas, les cônes dont il s'agit sont remplacés 
par des cylindres de révolution autour de Oz. Les trajectoires 
orthogonales se projettent, sur le plan directeur, suivant des 
circonférences concentriques, etc. **. 
42. Quatrième application. Considérons la surface S engen¬ 
drée par une circonférence ab, variable de grandeur, tangente à 
une droite fixe Oz, en un même point 0. Les trajectoires orthogo¬ 
nales des génératrices sont les intersections de S avec des sphères 
normales, en 0, à la droite Oz (B). 
43 . Remarque. La surface réciproque de S, si l’on prend pour 
pôle le point 0, est un cylindre dont les génératrices sont paral¬ 
lèles à Oz. D’après un théorème connu ***, les circonférences ab, 
a b', ... constituent un premier système de lignes de courbure. Les 
secondes lignes de courbure sont donc sphériques. Cette double 
circonstance se présente toutes les fois que la surface S est la 
réciproque d’une surface cylindrique (B). 
44 . Cinquième application. Soient une sphère S et un cylindre 
de révolution, E, dont l’axe passe par le centre O de la sphère. 
* La directrice Oz est la ligne de striction (.Recherches sur les surfaces 
gauches, p. 22.) 
** Propriétés évidentes et connues. 
*** Liouville, Journal de Mathématiques, t. XII, p. 281. 
