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font, avec cet axe, un angle constant, dont le cosinus égale Ces 
courbes, que l’on pourrait appeler hélices sphériques *, sont défi¬ 
nies par l’équation différentielle ^ jointe à a: 2 z 2 = R : . 
III. Si l’on fait x = U cos «, y — U sin w, on a dz = — — U -- =• 
On trouve ensuite, en supposant que s augmente quand U di¬ 
minue. 
ds = —dU 
R 2 / d co \ 2 
-i-U 2 — 
R 2 —U 2 UU/ 
puis, au lieu de l’équation différentielle ci-dessus 
U 
V 
R 2 -+- U 2 (R 2 - ü 2 ) 
’duy 
k dü) 
a 
R 
( 21 ) 
Or, d’après l’équation (20), 
R R 2 - U 2 / a 2 
doo — — 
/[]- - a 2 - 
a R 2 — a 2 U 2 / ‘ V R 2 — U* ’ 
ou, si l’on effectue les calculs, 
L’équation (21) devient donc Videntité 
* Elles portent le nom de développantes sphériques. Ce sont d'ailleurs de 
véritables hélices, tracées sur le cylindre représenté par l’équation (20). Voir, 
par exemple, un Mémoire de Th. Olivier, dans le 25 e Cahier du Journal de 
l’École polytechnique. 
