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50. I ,es développables accompagnatrices (II) de nos surfaces 
gauches sont des surfaces à pente constante, dont la directrice 
est l 3 anti-podaire de AB, relativement au pôle 0 (B). 
En effet, le plan asymptotique suivant MG, c’est-à-dire le plan 
tangent au cône directeur, aurait pour trace horizontale la per¬ 
pendiculaire MT à OM; et, d’un autre côté, l’enveloppe de MT 
est î’anli-podaire de AB. 
51. Cas particuliers. 1° Si AB est rectiligne, î’anti-podaire est 
la parabole ayant AB pour tangente au sommet, et 0 pour foyer. 
Ainsi, la développable accompagnatrice de l’hyperboloïde-con- 
cho'idal est un héliçoïde à base parabolique (28). 
2° Si AB est une circonférence, l’anli-podaire est une ellipse 
ou une hyperbole, dont le point 0 est un foyer. Dans le premier 
cas, l’accompagnatrice est la surface à pente constante , à base 
elliptique; surface très-remarquable, étudiée par M. de Saint- 
Venant, et qu’il a fait construire. 
5° Si AB est une circonférence passant au pôle 0, î’anti-podaire 
se réduit au point 0', diamétralement opposé au-point 0. Dans 
ce cas, la développable accompagnatrice de notre surface gauche 
est le cône directeur ayant son sommet en 0' (B). 
IX. — Surfaces conchoïdales. 
52. Soit S une surface donnée. Si, d une origine fixe 0, on 
mène un rayon vecteur quelconque OM, et qu’on le prolonge de 
MM' = k, k étant une constante, le lieu du point M' est une sur¬ 
face S' que l’on peut appeler conchoïde de S *. On peut dire, en¬ 
core, que les surfaces S, S' sont conchoïclales. 
Les surfaces eonchoïdales jouissent de quelques propriétés inté¬ 
ressantes, qui n’avaient peut-être pas été remarquées. 
* A un même point M correspondent, véritablement, deux points M', M". 
situés de part et d’autre de M. La conchoïde complète d’une même nappe S 
est donc composée de deux nappes, S', S". Pour plus de simplicité, nous 
négligeons la nappe S"; ce qui revient à supposer que le paramètre k est 
essentiellement positif. 
