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53, Th éoréme. \° Les podaires de deux surfaces parallèles 2, 
2', sont des surfaces conchoidales, S, S'; 
2° Réciproquement, les anti-podaires de deux surfaces con- 
choïdales S, S', sont deux surfaces parallèles , 2, 2' : 
1° O étant le pôle (fig 10), soit PP' une normale commune aux 
surfaces parallèles 2, 2/- La droite OMM', parallèle h PP', perce 
les plans tangents P>ï, P'M , en deux points correspondants M.M , 
l’un appartenant à la podaire S de 2. l’autre à la podaire S' de 2 • 
D’ailleurs MM’ = PP' = const.; donc les surfaces S, S' sont con- 
ehoïdales. 
2° La réciproque résulte du théorème suivant. 
54. T héorème. 1° Les normales à deux surfaces conchoidales. 
en deux points correspondants, sont situées dans un même plan ; 
2° La droite menée du pôle , au point de concours de ces nor¬ 
males , est perpendiculaire au rayon vecteur commun. 
MN étant la normale, en M, à la surface donnée S; menons, 
dans le plan normal OMN. ON perpendiculaire à OMM' ; puis, du 
point N, ainsi déterminé, tirons NPP' parallèle à OMM'. Enfin, 
menons encore MP, M P' parallèles à ON. D’après un théorème 
connu, le lieu 2 du point P est Vanti-podaire de S, et M'-N est la 
normale à la podaire du lieu 2' des points P'. Et comme cette 
podaire est la surface S', conchoïde de S (53), les deux parties de 
la proposition sont démontrées. 
55. Théorème. Les conjuguées d’une suite de surfaces conchoi¬ 
dales, S, S', S", ..., sont des surfaces conchoidales, s, s', s", ... 
M (fig. 17) étant un point quelconque de la surface S; menons, 
dans le plan normal OMN. O m égaie et perpendiculaire à OM ; 
puis On égale et perpendiculaire à ON : mn, égale et perpendicu¬ 
laire à MN, est la normale au lieu s des points m *. D’après le 
dernier théorème, les normales en M', M ", ... concourent en N; 
donc le plan OMN contient les points m', m" , ..., conjugués de 
M', M", ...; etc. 
Mémoire sur une transformation géométrique et sur ta surface des 
ondes, pp. 6, 29, 51.... 
