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Conséquemment, la surface réciproque de S est le cylindre (ü 
qui a pour section droite le cercle EF (43). 
3° Les premières lignes de courbure sont donc les circonfé¬ 
rences génératrices EIIGIF (43). 
4° Les secondes lignes de courbure, trajectoires orthogonales 
des premières, sont des courbes sphériques (43). Je dis, en outre, 
qu'elles sont planes. 
En effet, ia circonférence ef, ligne de courbure du cylindre C, 
est l’intersection d’un plan et d’une sphère, surfaces dont les réci¬ 
proques sont sphériques; etc. 
•)° La surface S, admettant deux systèmes de lignes de cour¬ 
bure circulaires, est une cyclide. 
6° Considérons, sur le cône Ee/ (fig. 20), la circonférence ef, 
ligne de courbure du cylindre C, et la circonférence pq, ligne de 
courbure de la cyclide S. Soit F' le point inconnu où le diamètre 
qp, prolongé, rencontre EF. D’après l’égalité Ep . Ef= Eq . Ee, 
les triangles E pq, E ef sont semblables; donc le premier est rec¬ 
tangle, et le triangle F E q est semblable à E ef. Conséquemment 
Ee ef 
EF' “ ~Ëq ’ 
puis, à cause de l’égalité précédente, 
EF' = ef = EF. 
Ainsi, les plans des secondes lignes de courbure passent tous 
par la seconde directrice CD. 
7° En outre, le lieu du point p est la circonférence EK.F, dé¬ 
crite sur EF comme diamètre. 
8° De là résulte un second mode de génération de notre sur¬ 
face : la cyclide S, lieu d’une circonférence qui, tangente à AB, 
coupe normalement Cl), est aussi le lieu d’une circonférence pq, 
dont le plan passe par CD, et qui rencontre orthogonalement la 
droite AB et la circonférence EKF \ 
Les résultats précédents sont, bien entendu, compris dans ceux que l’on 
connaît. Néanmoins, à cause de la simplicité des démonstrations, j’ai cru pou¬ 
voir signaler ce cas particulier de la cyclide, surface étudiée par >1M. Charles 
Dupin. Mannheim. Picart, Roberts, ... 
