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M (fig. 24) étant un point pris sur l'ellipsoïde donné, soient MG, 
MH les lignes de courbure qui se croisent en ce point. La pre¬ 
mière, représentée par les équations (1), (2), ou par g = const, 
se confond avec CB lorsque g = a. De meme, la seconde ligne 
de courbure, MH, représentée par les équations (1), (3), ou par 
h = const, coïncide avec CA si h — b. 
69. Les rayons principaux en M ont pour valeurs, comme l’on 
sait, ^ et \ De ces deux rayons, d'un, que nous représente¬ 
rons par R g , est le rayon de courbure de la section principale 
tangente à MG. Quand les paramètres g, h atteignent leurs limites 
a, 6, R 9 devient —, rayon de courbure de l’ellipse BC, au som¬ 
met B. On conclut, de cette remarque **, 
IG 
abc 
Ra 
9* h 
abc 
(3) 
70. Soient encore u le rayon vecteur OM, et v la distance du 
centre au plan tangent en M ; de manière que 
u- = a 2 -+- b 2 -h c 2 — g 2 — /i 2 , 
abc 
* + + 
(4) 
Au moyen de cette dernière valeur, les formules (3) deviennent 
h 2 q 2 
R, = —, Ra=- .5) 
J v v 
Celles-ci expriment que : 
Le long d’une ligne de courbure (MH), le rayon de la section 
principale (MG, M G', M"G", ...) normale à cette ligne, varie en 
raison inverse de la distance du centre au plan tangent ****. 
* Voir, par exemple, Mélanges mathématiques , p. 263. 
** Faute de l’avoir faite autrefois, j’ai commis une légère inexactitude dans 
un énoncé (Comptes rendus , t. LXXI , p. 33). 
*** Mélanges, p. 262. 
**** Comme l’on a aussi 
R 9 
a-b-c- 
gH* ’ 
R* = 
a?b a -c 2 
h'-v 3 
on peut dire encore que : 
Le long d'une ligne de courbure (MG), le rayon de la section principale, 
tangente à cetle ligne, varie en raison inverse du cube de la distance du 
centre au plan langent. 
Tome XXIV. 
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