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pôle de V axe instantané *. Il a démontré que la polhodie est, 
en meme temps, le lien des points où l’ellipsoïde serait touché 
par un plan mobile, qui resterait toujours « la même distance 
du centre**. D’après cette seconde définition : 
En chaque point d’une polhodie, les rayons principaux de 
l’ellipsoïde forment un produit constant; ou, ce qui est équivalent : 
La polhodie est, relativement à l’ellipsoïcle qui la contient, une 
ligne de courbure constante ***. 
II. Si p désigne la distance du centre de l’ellipsoïde au plan mo¬ 
bile P, ou le rayon de la sphère S sur laquelle roule ce plan (en 
même temps qu’il roule sur l’ellipsoïde), les équations de la pol¬ 
hodie sont 
0 ) 
X 2 ?/ 2 Z 2 1 
a i b 1 c 4 p a 
( 2 ) 
Du centre commun, abaissons la perpendiculaire p sur P : 
l’équation de P étant 
*X-.fLY + i Z = 1 ( 
les équations de p sont 
x y z 
Éliminant x , y , z , on trouve les relations 
a 2 X 2 -+- 6 2 Y 2 4 - c 2 Z 2 = p \. ..(5) 
X 2 -4- Y 2 -+- Z 2 = p 2 ,.(4) 
* Éléments de Statique, p. 511. 
** Ibid., p. o 12. 
*** Recherches sur les surfaces gauches, p. 45. Suivant M. de La Gour- 
nerie (Traité de Géométrie descriptive, art. 945), « M. Valson a démontré 
que le produit des rayons principaux d’une surface du second ordre est con¬ 
stant en tous les points d’une polhodie. » Mais ce théorème semble fort an¬ 
cien, car on le trouve dans les Développements de Géométrie, de Charles 
Dupin (pp. 211,212). 
