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XI. Soit p = b, auquel cas la polhodie est une ellipse, repré¬ 
sentée par deux quelconques des équations 
X 2 
y 2 
z 2 
— 
-H 77 •+• 
- = 1 
a 2 
b 2 
c 2 
b 2 x 2 
y 2 
b 2 z 2 
•+• r. *+" 
—— = 1 
a 4 
b 2 
c 2 
(H 
s 2 c l (n 2 — b 2 ) 
x 2 = a*(b 2 —c 2 ) ' 
L’équation (10) se réduit à 
du — b- 
du 
•■V- 
.(I2i 
-b 2 ) (b 2 -c 2 ) 
Si l’on fait, pour abréger, 
b 2 
(«2 & 2)(&2 C 2 ) 
U* 
62 
= m-, que l’on intègre, 
et que l’on suppose « = 0 pour u = m, on trouve 
2 m 
u — 
mOO 
> b 
MlCÇ 
' b 
(13) 
résultat conforme à celui qu’a donné Poinsot **. L’inspection de 
cette formule prouve que Yherpolhodie est alors une spirale tour¬ 
nant indéfiniment autour du pôle. 
XII. Remarque. D’après la génération de la polhodie et de 
l’herpolhodie, un arc de la première courbe, et l’arc correspon¬ 
dant de la seconde, ont même longueur. En particulier, la spi¬ 
rale (13) a même longueur que l’ellipse (11). La vérification est 
facile. En effet, l’équation (12) donne 
. / m 2 -y- b 2 — u 2 
ds = du y —— ; -— ; 
et, si l'on fait u — m sin «», e 
m 2 — u 2 
m 2 
rn- + 62 • 
ds = \/m 2 -+- b 2 dbo \/1 — e 2 sin 2 co, 
* La troisième est une conséquence des deux premières. 
** Journal de Liouville, t. XVI, p. 118. 
