Pendant longtemps, on peut le dire, la question ne progresse pas. 
Pourquoi? 
Avait-on suffisamment remarqué ce qu’il y a de constant et 
d’uniforme parmi toutes les quantités variables d’un lieu géomé¬ 
trique arbitraire? 
courbe, P de classe C 0 ; 3° une courbe 2 d'orclre m ayant les quatre points A, 
B, C, D respectivement multiples d'ordre a, b, c, d. On considère une tan¬ 
gente quelconque T de C 0 qui coupe en un point p la courbe 2, et l'on ima¬ 
gine la conique (A, B, C, D, m); cette conique rencontre T en un second 
point M : quel est l’ordre du lieu de ce point? 
Cherchons d’abord le degré de multiplicité de l’un des points A, B, C, D, 
de A, par exemple. Pour que ce point appartienne au lieu, il est nécessaire que 
la tangente variable T s’v trouve; menons donc les C 0 tangentes à la courbe P 
issues de ce point, et voyons combien il y a de points p- sur chacune d'elles, 
donnant pour point correspondant du lieu le point A. Il est évident, d’après la 
définition, qu’il y en a sur chacune d’elles m — a. Ce sont, en effet, les points 
d’intersection de ces droites avec la courbe 2. On peut donc dire que le point À 
est multiple d’ordre C 0 (m — a). 
Ainsi l’on a 
(A) C 0 (m — a) —• a', (B) C 0 (m — 6) = b', (C) C 0 (m — c) = c', (D) C 0 [m — d) =d'. 
Cela posé, coupons le lieu par une conique arbitraire A, passant par les 
points A, B, C, D. Il est manifeste que les points d’intersection, situés en 
dehors de A, B, C, D, sont les seconds points de rencontre des tangentes à 
la courbe P, issues des points communs (abstraction faite des points A, B, 
C, D) aux deux courbes 2 et A. Or ces derniers points sont au nombre de 
2 m — (cn-6 + c + d), et comme de chacun d’eux on peut mener C 0 tan¬ 
gentes, il s’ensuit que les points cherchés sont au nombre de 
C 0 (2 m — a — b — c — d,) ; 
donc, la conique A rencontrant le lieu en un nombre de points marqué par 
C 0 (2m — a — b — c — rf] + a' + 1/ + c' + d' = 2C 0 (3m — a — b — c — d) , 
il s’ensuit que l’ordre de ce lieu est lui-même marqué par le nombre 
C 0 (3m — a — b — c — d). 
Nota I. — Si l’on suppose C 0 = 1, l’on retombe sur la transformation argue- 
sienne. 
Nota II. — On aurait pu remplacer les quatre points A, B, C, D par un 
groupe de k(k ~ —— 1 points, considérer une courbe d’ordre k au lieu d’une 
conique, et l’on aurait obtenu aussi facilement l’ordre de la courbe trans¬ 
formée. 
