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il y en ait au moins quatre, appartenant respectivement à chacun 
de ces quatre groupes, qui soient tangents à une même surfaceW. 
Cherchons le nombre des points du lieu situés sur une droite a. 
Pour cela, prenons à volonté sur cette droite trois points p x , 
/) 2 , p 5 et considérons les plans (P^), (P 2 p 2 ), (P 3 P 3 ) en nombres /j .,, 
Ui, p 3 , et les surfaces W tangentes à trois plans pris chacun dans 
l’un de ces trois derniers groupes en nombre I 728 / a 1 g 2 f ;jL 5 *5 or, le 
nombre des plans du système P 4 tangentes à ces surfaces étant 
1728^1^3 X 12 n k **, on voit qu’à trois points P )5 P 2 , P 5 cor¬ 
respondent 1728 X 12 points P 4 ; on verrait de même 
qu’à trois points arbitraires des quatre séries correspondent 
1728 X 12 acjAc ^ 3 ^ points pour la série restante; donc, en vertu 
du principe de correspondance entre quatre séries de points, le 
nombre cherché est 
1728 X 12 X 4Aq,u 2 M 3 ,u 4 , 
Problème VI. — On a six systèmes de coniques A n A 2 , A 3 , A 4 , 
A 5 , A 6 , qui ont pour caractéristiques (iu lt y,), (^ 2 , v 2 ),(,a 6 , v 6 ); on 
demande l'ordre du lieu d'un point M tel que, par où les coniques 
(AjM), ( A S M)... (A 6 M), 
il y en ait au moins six, appartenant respectivement à chacun de 
ces six groupes, qui soient tangentes à une même conique. 
Cherchons le nombre des points du lieu situés sur une droite a. 
Pour cela, prenons arbitrairement sur cette droite cinq points «,. 
a 2 , o 3 , o 4 , a b , et considérons les coniques 
(G) (AjCtj), (A(A 3 (z 3 ) , , (Agflj), 
en nombres 
et les coniques W, tangentes à cinq coniques appartenant respec¬ 
tivement chacune à un des groupes (G), en nombre 
3264 X ,u 1( u 2 A: 3i u 4/ u 5 ***; 
* Il y a 1728 surfaces du troisième ordre passant par seize points et tan¬ 
gentes à trois plans. 
** Toute surface générale du troisième ordre est de la douzième classe. 
*** Il y a 3264 coniques qui sont tangentes à cinq coniques données. 
