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tissant, les autres A 4 , A 2 ... A^,, A i + 1 ... A k « passer respective¬ 
ment par l’un des k— 1 points arbitraires a 1} a 2 ... a i _ 1 ,a i + 1 ... 
S’il arrive qu’ayant pris arbitrairement une droite a pour direc¬ 
tion asymptotique commune à k — i des courbes ou surfaces 
variables,celte même droite soit une direction asymptotique pour 
l'une des courbes ou surfaces variables correspondantes, notre 
principe ne donnera pas le nombre cherché, mais bien, ce qui 
d'ailleurs pourra souvent être une indication très-précieuse, une 
limite supérieure. Dans ce cas, pour connaître exactement l'ordre 
du lieu, on devra traiter le problème analytiquement ou par les 
considérations que nous exposerons dans la seconde section. Quant 
à la connaissance du nombre des courbes ou surfaces qui corres¬ 
pondent h k — 1 d’entre elles, le plus souvent le mode de liaison 
qui unit les courbes ou surfaces permettra de le reconnaître sur- 
le-champ; parfois, cependant, la recherche de ce nombre exigera 
la solution de théorèmes ou problèmes préliminaires *, et, à cet 
égard, nous n’aurions su, on le conçoit, formuler des règles gé¬ 
nérales : c’est à la sagacité personnelle qu’il appartiendra de dé¬ 
mêler les expédients heureux. 
En terminant, est-il besoin d’ajouter que les considération- 
développées dans ce mémoire s’étendent d'elles - mêmes aux cas 
où l’on étudie un lieu géométrique défini par le déplacement d’une 
droite ou d’un plan ? Nous ne le pensons pas : il va certainement 
nous suffire de formuler les premiers principes **. 
Premier principe. — On a k faisceaux de droites F,, F 2 . 
F 3 ... Fj, ... F k passant par un même point 4, et dont la liaison 
est telle que , prenant arbitrairement k — 1 droites D,, D 2 , 
D 3 ... D; _ j , D; , ... D k , considérées comme appartenant respecti¬ 
vement aux k — l faisceaux F,, F.,, F 5 ... F; F i + 1 , ... F k , il 
* C'est ainsi que, dans la théorie des systèmes à un seul paramètre variable, 
la connaissance du nombre des courbes passant par un point ou tangentes à 
une droite, permet immédiatement de fixer ce nombre déterminé pour tout-s 
les courbes se rattachant à ce système. 
** Les problèmes examinés dans ce mémoire pouvant être immédiatement 
transformés par le principe de dualité, nous laissons au lecteur le soin de 
faire lui-même des applications de ces nouveaux principes. 
